理解惯性不匹配的奥秘

学习惯性和耦合刚度如何组合在伺服轴操作中产生不稳定性，以及您可以对此做些什么。

当涉及到运动控制时，仅靠扭矩是不够的。像每分钟300份的包装或卷筒印刷这样的应用需要超高速的操作，精确的定位，以及数十个轴之间的紧密同步。机电系统可以提供这种程度的性能，但它们依赖于系统的机械性能和电气性能之间的适当相互作用。如果轴由于负载和电机之间的高惯性不匹配和/或联轴器、轴和传动带的显著顺应性(扭转弯曲)而导致机械特性差，机械共振将阻止电气控制按要求执行。最好的情况是，你可能会出现过冲和延长的沉淀时间;在最坏的情况下，轴可能陷入失控的振荡。无论你有多少扭矩-如果你的负载惯性太高，你的电机和耦合，你的系统简单地将不执行所需。

你可能看过一个广告，显示一辆小货车拖着一架大型喷气式飞机沿着跑道走。现在想象一下，卡车正在用一根超强的蹦极绳索拉动一个自由旋转的喷气机。也许卡车可以产生足够的扭矩让飞机滚动，但很明显，由于惯性不匹配和弹性条件的结合，卡车大小的车辆不可能有效地控制负载。尽管负载惯性与电机惯性的比值(10:1,1:1,5:1，等等)有丰富的经验，但基于系统级特性的不同设计的性能是不同的。让我们分析一下所涉及的问题，以及它们如何影响您的系统。

由于电气控制和驱动系统能够基于闭环反馈优化机械性能，伺服轴能够提供顶级的性能。控制器向伺服放大器(驱动器)发送路径命令，伺服放大器(驱动器)产生一个电驱动信号，告诉电机何时以及如何旋转。编码器或解析器监测电机的实际位置/速度，允许系统量化由机械问题和外力引起的误差的幅度和频率。基于此反馈，可以调整驱动信号的特性，以优化轴的性能。

为了理解机械问题如何影响这一过程，考虑通过轴/联轴器连接到电机的负载(见图1)。[注:为了本文的目的，我们将讨论限于带有内部旋转转子的旋转伺服电机]。我们可以将惯性比定义为驱动-负载惯性J_l和电机的转子惯性J_米为:

惯性率=J_l/J_米［1］

在一个具有无限刚性电机轴和联轴器的完美系统中，转子将旋转并使负载随它一起转动。实际上，所有的耦合都有一定程度的合规性。我们可以把轴/联轴器模拟成具有弹簧常数的弹簧K_年代．在这种情况下，当轴开始转动并遇到一个高J_l，轴向上卷起并且最佳载荷滞后，并且在最坏的情况下，从转子（防谐振）移动相反方向或粗地放大由电动机（共振）施加的力（谐振）。这些点的频率基本上定义了系统可以优化动作的电动机的可用带宽，以有效地将负载传送到命令位置或以指令的速度移动它。

让我们仔细看看惯性比和耦合刚度是如何在我们的顺从耦合系统中相互作用，从而引入机械共振来降低运动。我们从电机和负载的角加速度表达式开始。



在哪里

J_米电机的转子惯性
J_l负载惯性
K_年代=耦合弹性
T=应用扭矩
B_毫升=联轴器的粘性阻尼
B_米=地面与转子之间的粘性阻尼
B_l=地面与载荷之间的粘性阻尼

接下来，我们使用拉普拉斯变换将分析移到频域



得到以复频率表示的运动方程年代：





这为我们提供了传递函数



其中d（s）表示两者的分母函数，为简单介绍引入：



我们可以设置B_米和B_l为零，因为它们对共振的影响可以忽略不计。随着这个变化，我们的传递函数变成:



如果我们对条款进行分组，我们得到:



在哪里：



方程3和方程4是这个推导的关键结果。它们是由耦合柔度和惯性相互作用在轴上激发的振动模态的频率。它们是反共振频率以及共振频率．

系统的共振和反共振峰识别出异常行为的区域。在时，负载以与电机相等而相反的扭矩移动-两者为180^o的阶段。结果是，当负载来回振荡时，电机的转子静止不动。来自电机的能量本质上被困在一个由负载和柔性耦合组成的子系统中。问题是，大多数设计只在电机上附加反馈设备，这意味着电机可能出现损坏，而负载振荡可能无法检测到。在最好的情况下，载荷不能完成命令的运动。在最坏的情况下，机器和/或产品会损坏。

在，电机和负载处于相位，因此而不是耗散能量，系统放大。结果，增加了系统的增益总体意味着在共振峰处引入潜在的灾难性行为。这解释了为什么，例如，饮料线可能在每分钟280份完全良好地工作，但是当它撞到300时，它会在整个房间里开始扑鼻瓶子。

现在让我们仔细看看反共振和共振尖峰是如何潜在地干扰调优过程和系统性能的。在正常情况下，通过分析反馈和调整驱动信号来调整伺服，以在感兴趣的操作频率上实现或多或少的一致响应。这个过程通常从增加增益开始，以优化系统响应。问题是，在图2所示的曲线中，增加驱动信号的增益将推动共振峰值超过统一，导致不稳定的行为，如扔瓶子。

解决这个问题的标准方法是应用一个低通滤波器，去除两个尖峰(或任何次级共振，对此而言)。这种方法在高频共振下降时有效，但在低频共振下降时，这种滤波技术牺牲了轴的大部分可用带宽。它可能会提高增益，但系统可能无法完成分配的时间内的运动周期。这就是我们在文章开头讨论的问题的症结所在。电机可能有足够的扭矩，但如果惯性比和耦合刚度如此之大，在低频出现共振，即使是最好的电气工程师也无法使系统稳定地以更高的速度运行。随着时间的推移，该行业已经挖掘了实践经验和直觉理解，形成了经验法则。然而，这并不是解决这个问题最有效的方法。

“当人们谈论惯性不匹配的规则时，我会说，等一下，如果你有一个灵活的耦合，你必须了解反共振和居所在哪里，”机电电子学专家、霍夫斯特拉大学(Hofstra University, Hempstead, New York)机械工程教授凯文·克雷格(Kevin Craig)说。“如果你试图控制一些频率范围，远离它们，这没关系，但如果你接近反共振或共振频率，你就必须处理它们。”

让我们仔细看看Bode Plot(公式1)，以更好地理解调整惯性比如何有助于解决这种情况。如方程3和方程4所示和受到弹簧常数和惯性比的强烈影响。该系统的可用带宽大致运行到肩部，在那里，情节开始倾斜到反共振峰值。显然，带宽上限越高，系统响应越大。

仔细看看这三条曲线。随着惯性比的降低，两个共振峰的幅度和间距都降低。更重要的是，和转向更高的频率，增加轴的带宽。这种偏移也使得在调整回路之前更容易应用滤波技术来清理信号。例如，在1:1的比例下，峰值移动到足够高的频率，我们可以用低通滤波器去除它们，然后应用调谐技术使增益变平。或者，可以使用惯性比和耦合刚度将两个峰值推得足够近，这样就可以在调整伺服之前应用陷波滤波器来去除一个或多个峰值。

“我永远无法理解惯性不匹配，因为这一切都知道刚度是什么，知道惯性比例是什么，那么看着博德地块并保持。“我想做什么？我控制器的带宽是什么？我如何试图控制这个负载？“”克雷格说。“我永远无法贬低统治并说，”它必须这样做。“我从来没有明白这种方法。”

解决共振频率
为了提高固有谐振频率，我们可以通过增加电机尺寸或减少负载惯性来增加弹簧常数或修改惯性比。使用更强大的电机通常会增加成本、尺寸、重量和能源消耗。使用最硬的可能的轴联轴器可以改善这种情况，但这里，也有缺点。超硬轴需要非常精确的安装。任何对中误差都可能导致轴承过早磨损，导致早期故障。

另一种方法是通过向转子添加质量来减少惯性不匹配，这是源头J_米．它不会改变系统的扭矩，但它确实抑制了电机对耦合的响应。“你减慢了电机的响应，因为当你的收益转动时，电机响应慢速度较慢，”帕克哈尼丁（Minnesota）的员工工程师史蒂夫波德说，“斯蒂夫波德说，斯蒂夫波德说”新乌尔姆新乌尔姆“）。“这是解决问题的另一种方法。”在缺点，这减少了系统响应。

直接驱动电机为正确的应用提供了另一种解决方案。也被称为无框架或套件电机，这些设计包括使电机成为负载的一部分。一个例子是传送带，它的电机转子作为传送带的轴保护在外。在这种情况下，K_年代朝向无穷大。这些设计可以解决巨大的惯性不匹配和有效地位。在缺点中，他们更复杂，安装和非常不可思议。例如，他们可以很好地工作，例如，但在依赖于维修人员处理更换失败的组件的工厂环境中，它们可能并不适合。

减速比和反射惯性
另一种解决负载惯性问题的方法是添加齿轮头。我们定义齿轮传动比N对于两个齿轮作为其直径的比率:

N＝D₂/ D₁

如果我们附加一个产生扭矩的电机速度，输出转矩和角速度是由:

同时，齿轮夹在电机轴上缩放了负载惯性“看到”，如：

换句话说，齿轮减速器的增加使扭矩线性增加，但降低了影响共振的反射惯性1/N²．三菱电机(Mitsubishi Electric, Vernon Hills, Illinois)自动化解决方案团队负责人布莱恩•奈特(Bryan Knight)表示:“降低比例是一种神奇的子弹。”“有时使用更小的电机和更好的传动装置可以更好地解决惯性不匹配问题。”例如，标准3:1的齿轮头可以将潜在的54:1的惯性不匹配减少到6:1，同时在负载侧增加三倍的扭矩。

你可能会假设增加一个削减比率也会有成本，但这并不一定是正确的。Parker Hannifin公司的伺服和齿轮头经理Jeff Nazzaro说:“如果使用齿轮头进行惯性匹配，与单独使用电机相比，可以降低成本和整体尺寸。”“我们已经展示了一个应用的例子，需要一个142毫米框架尺寸的电机。如果你增加齿轮头，你可以降低整体框架尺寸到90毫米，也节省了良好的35%至40%的成本，在整个系统。齿轮头会增加成本，但电机会变小，你也可以使用更小的驱动器。”

也就是说，该方法必须在系统环境下考虑，包括负载速度和扭矩倍增。齿轮头的最大输入速度，通常为6000 RPM或以下。在中等速度和一致负载的应用程序中，齿轮头可能能够有效地调整10:1的惯性比，但如果您在60000 RPM的主轴应用程序中使用它，它将无法生存。在像传送带这样的应用程序上，以较低的速度使用相同的设计来纠正100:1的比率也会产生问题。Nazzaro指出:“当你使用更高的齿轮传动比来获得越来越好的惯性比时，你就可以通过齿轮系创造更高的扭矩乘法。”“如果你的传送带卡住了，而你没有电流限制你的电机，你会剥掉齿轮系。”

使用齿轮夹涉及其他权衡。作为机械部件，它们可能需要维护，如润滑或更换密封件。它们增加了长度并引入了可听噪声。寿命取决于负载，齿轮件类型，占空比等。但是它们通常需要在几年的操作后更换。

还有一个与速度有关的问题。对于减速比高、减速快的系统，产生的再生能量非常高。例如，尽管这有助于在公共直流母线上运行的多个轴之间共享能量，但在紧急停止或线路停止的情况下，这也可能是有问题的。“你所能消耗的能量是有限的，”奈特说。“你没有任何东西可以吸收能量，因为所有的轴都在同一时间停止，但所有的能量都必须去某个地方。”

例如，一个过程在一个月或一个季度中经历了几次紧急停止，这可能不是一个问题，但一条被编程为在产品丢失或缺陷时停止的生产线可能在一个班次中停止多次。他补充道:“你选择了一个高传动比的齿轮，这样就可以用一个更小的电机来摆脱扭矩，但你的再生制动能量(你必须用自己的制动电阻来消耗)会大大增加。”“这正是尺寸软件变得重要的地方，因为它有助于识别电机和齿轮减速组合，为应用提供正确的扭矩和速度，同时最大限度地减少惯性比和浪费的再生能量。”

在系统级进行设计
用于到达理想系统的最直接的方法是首先确定直接耦合电动机的适当尺寸来完成作业。通常，这需要一个不可接受的大电机。在这种情况下，确定齿轮头是否可用于减少负载惯性，以便在共振方面会提供可接受的性能。这应该允许您重新归类电机/驱动器。From there, it’s a matter of iterating to find the best combination for your application, keeping in mind issues of speed, torque multiplication, etc. If your system cannot permit the use of a gearhead, then a direct drive motor may be your best choice. This is the general methodology used by most motor sizing programs.

任何时候，当你与产品工程师或电机尺寸调整程序一起工作时，确保你理解运行的假设。那些10:1甚至5:1的经验法则是基于基于经验的直觉理解，但可能没有考虑到真正的问题来自惯性和耦合的相互作用。特别是在推动性能极限的系统中，经验法则不太可能成功。克雷格说:“我认为没有什么能取代对系统和应用的良好模型和理解。”“你用这些经验法则所做的就是在说，你不愿意理解真正发生了什么。”

运动控制是一个系统级的功能，应该从系统的角度进行评估。不要只是将你的马达尺寸提升10%或20%，在确定你的设计之前，要花时间去理解惯性比、顺应性、速度等因素的影响。开发一个考虑到我们上面讨论的因素的系统，并确保您理解它将如何运行。最好的方法是机械设计团队与电气和控制工程师合作，建立最适合应用的组件和参数。在开始时使用集成的、系统级的方法将有助于防止以后出现挫折和意想不到的问题。

进一步的阅读
k·克雷格。”惯性不匹配:事实还是虚构?”设计的新闻，2/2013。
g·埃利斯。”工业伺服系统机械共振的解决方法， " IEEE工业应用会议，2001年9月。
g·埃利斯。”如何在运动控制系统中使用机械共振”,控制工程, 4/2000。

致谢
感谢Kevin Craig详细的推导。